2021年3月18日下午，新北区盛小青名教师成长营的营员们齐聚飞龙中学，开展常规的教学研讨活动。本次活动由滨江中学洪瑶老师和河海中学周叶老师分别开设《函数背景下的定角处理策略》和《探究直角三角形的存在性》的教学研究课：两位老师的课堂由浅入深，环环紧扣，注重引导学生积极参与课堂，并关注学生深度学习的发生。课堂结束后，全体营员在交流群积极讨论本次活动的心得体会。为了加速营员成长，领衔人为成长营全体营员征订了《中学数学参考》，在现场活动结束时分发给营员。

常州市新北区实验中学陈洁：洪瑶老师的《专题复习—函数背景下的定角处理策略》这堂课，给我们呈现了九年级第二轮复习中的专题课，教师引领启发，学生自主探究，从而建立数学模型，得出解决一类数学问题的方法和策略，让数学学习更加的高效。在学生的积极探索中，和老师的不断引导下，学生围绕45度这个特殊角，构建直角三角形，并且根据k型全等的模型，又构建一线三等角，让学生归纳出“定角定边”问题的处理策略：构造“k型相似”。接下来，通过变式训练，让学生不断体会，巩固新方法，内化新知识，从而熟能生巧，变成自己的基本技能。洪老师这堂课思路清晰，目标明确，语言简洁，精练。整课堂抓重点，攻难点，帮助学生逐一突破，从而形成解决一类问题的策略，是堂非常精彩的专题课。周叶老师的《专题复习—探究直角三角形的存在性》这堂课，首先正向带领学生回顾直角三角形的相关知识，然后再反过来探究直角三角形的存在性。通过作垂线，构造圆，让学生体会对直角要进行分类讨论，使数学方法不断渗透。构造出图形后，如何来求点的坐标呢？在学生的积极思考，小组合作交流中，逐步总结出了4种求解方法：“k型”相似;三角函数;勾股定理;k1×k2=-1;在对每种方法进行讲解时，周老师详略得当，对于学生能很好表达出来的，老师稍加补充。对于，学生有困难的，老师逐步启发，特别是代数方法，勾股定理的得出，周老师详细板书，总结方法，列出式子。通过学生对直角三角形的构建，和点的求解方法的探索过程，培养了学生的探究意识，应用意识。也逐步完善了学生的多方面思考的思维习惯。周老师亲切有感染力的语言，清晰有条理的板书，循循善诱，不断启发的教学方法，都是值得我们学习的。
只有我们每一个老师跳进题海，深度研究，找出有规律的地方，才能总结方法，让学生跳出题海，顿然醒悟，内化为解决一类题的方法。

常州市新北区滨江中学洪瑶：在函数类综合题中，常常会遇到有关定角的问题，近几年的模考卷中，几乎每年都会出现一道定角问题，如何处理定角问题也是学生能否求解的关键，因此需要给学生归纳这类问题的处理策略，旨在用一种方法解决一类问题，体现了化归与转化的思想。首先需要给学生归纳出试用的定角模型，也就是已知和求解分别是什么，然后分步骤解决问题。给定定角的形式可能是特殊度数，也可能是给定它的三角函数值，或者倍角、半角、角的和差等形式，需要引导学生明白，本质上都是借助三角函数得到边的关系，因此需要放在直角三角形中，引出构造直角三角形，最后需要构造“K”型相似完成求解，也就需要学生在前期有一定的构造基础，这节课可以说是在此基础上的一个拓展。教学中可能没有考虑到学生的前期基础，铺垫不够，内容梯度不明显，问题1 的提出难度较大，学生有些无从下手，因此全程都是带着学生分析，开放性不够；同时通过辨析不同的方法，得到最简便最有效的解题策略。不足是本节课只注重强调解题策略或方法，并没有完整解决一个问题，在实际做题中，学生掌握方法但在计算上还是有可能出现错误，所以还是要给时间让学生进行计算、求解。周老师的直角三角形存在性问题，体现了分类讨论的思想，同时一题多解，发展学生的思维能力，归纳出在直角三角形存在性问题时常用了3种方法：互相垂直的直线，K互为负倒数；借助K型相似得到边之间的比例关系；利用勾股定理列方程。多种方法，让学生辨析比较，也告诉学生可以采取某一种通法，比如用代数的方法，勾股定理得三边关系，列方程求解。但这个方法的难点在于计算，遇到在二次函数背景下的问题，往往会出现4的方程，学生容易出错，因此需要学生有较强的计算能力。周老师课堂上讨论细致，分类明确，方法讲解到位，同时还给足了学生计算求解的时间，让学生能较好掌握这类问题的解决方法。

常州市新北区实验中学朱晓玲：作为九年级的数学复习专题课，其目的是在原有知识上进行一定的深、广、难度的发展。今天，洪老师和周老师精心备课，精彩纷呈地向我们展示了两节九年级复习专题课。两位老师虽是年青教师，但上课不慌不忙，教态自然有激情，板书清楚有条理，个人基本功非常扎实。两位老师的教学设计都落在学生学习能力和思维能力的最近发展区，以问题研究为主线，层层递进。洪老师的《专题复习—函数背景下的定角处理策略》这节课引导学生观察、比较、归纳，总结，抓住“定角”这个不变量，在不同的背景中认识、构造、应用基本模型，提高了学生运用知识解决问题的思维能力、解题技能。 周叶老师的《专题复习—探究直角三角形的存在性》这堂课主要培养了学生的探寻能力和分类研究的推理能力，当直角三角形存在时引导学生可从四个角度进行分析研究：当动点在直线上运动时，常用的方法是①k1•k2=-1 ，②三角形相似，③三角函数，④勾股定理。周老师面向全体学生，鼓励学生大胆质疑、独立思考，激发学生的深层思考，不仅加强了学生对所复习的知识灵活运用，也对常用解题方法进行了深刻的理解。

常州市新北区河海实验学校周叶：本节课我的设计思路是让学生学会在已知两点的情况下画第三点使之成为直角三角形，会在直角坐标系里求满足条件的点的坐标，并且在不同函数背景下解决直角三角形的存在性问题。力求提高学生分析问题、计算能力，渗透分类和数形结合的思想，增强学生解决较复杂问题的能力。今天一节课教学结束后，我也作了如下反思；本节课的预设目标在课堂上基本能顺利完成。一些基本的探究方法和思维模式，也能够让学生通过自主思考或同伴交流的方式获得收获。当然，因为学生本身的素养较高，教学过程中也出现了一些预设之外的生成性内容，对我来说，是一次挑战和磨练，虽说能够应答如流，但始终感觉有点不尽人意。比如给出了四种方法求点的坐标后，其实也可以再对这些方法进行比较，让学生学会选择最佳方法解题。像“变式题”换成抛物线上求点时，用勾股定理利用两点距离公式计算时我发现有学生在计算上会出现一些困难，此时勾股定理就未必是最佳方法。我深知：要给学生一杯水，自己本身要有一桶水。今后还要多钻研教材，多学习教法，让自己的教学水平再提升高度。洪瑶老师的《专题复习—函数背景下的定角处理策略》也让我获益良多。整节课思路清晰，洪老师带着同学一步步逐层分析，围绕“定角”问题展开讨论，从而得出解题策略。洪老师充分利用几何画板这一多媒体辅助教学，既让学生直观形象感受几何模型，同时也是良好扎实基本功体现，值得我好好学习。

常州市新北区实验中学季红：洪瑶老师的这节专题课有难度有深度，具有探究性。选题上由特殊到一般，从已知特殊角45度，变式为已知定角的正切值，最后变式为已知等角的正切值。引导学生在一系列题目中感知内化已知定角的处理策略。课堂内容详略得当，重在引导学生找定角定边，添加适当的辅助线，并利用K字型求解点的坐标。淡化两函数解析式联立求解最后答案的计算过程。洪老师在方法归纳方面也是精简到位，帮助学生在解决函数背景下的定角问题中快速抓住关键，有效解决问题。周叶老师的这节课很好地阐释了一题多解。利用简单的题目条件，讲清讲透了如何解决直角三角形的存在性问题。先是明确如何分类来找全能构成直角三角形的点。再是重点讲解了如何求点的坐标。周老师给出了四种不同的方法，侧重讲解了利用构造K字型和直角三角形勾股定理列方程这两种方法，并在归纳方法时渗透了数形结合的思想，K字型主要是几何法，利用图形找数量关系，而勾股定理则是代数法，对计算能力要求较高。相信如果平时就注重一题多解，多种方法渗透，那么学生的解题能力一定可以大有提高。

常州市新北区飞龙中学霍达:今天听了滨江中学洪瑶老师和河海中学周叶老师的两节专题课，受益匪浅。洪姚老师的来了内容函数背景下的定角处理策略一直以来是中考中的热点问题，对于学生来说也是一个难点。洪姚老师从构造特殊的等腰直角三角形出发，带领学生把这类问题归结为定角＋定边求另一边的问题，并指导学生对这类问题的处理策略进行总结，通过比较两种不同的方法，让学生感受到在定边上，过定点作定边的垂线，交另一边于一点，然后构造K字型相这种方法更加简便。相信经过一节课的学习，学生在处理这类定角问题是能更加得心应手。河海中学周叶老师的直角三角形中的存在性问题这一节课处理的非常细腻，周老师在分类讨论，画图，求解方法这几个方面都做了详细的讲解和适当的板书。特别是在求解时总结了三种常见的方法，k字型相似，三角函数，勾股定理。三种方法的讲解对于现阶段九年级的学生来说并不是很难理解，但三种方法都是学生解决平面直角坐标系中几何问题的有力工具，不仅激发了学生学习的兴趣，而且还帮助学生为后面复杂的几何问题打下良好的基础。

常州市新北区孟河中学莫桑：1、洪瑶老师的定角处理策略也让学习到了如何处理这一类型的问题。这节课的第一道题就选自常州一模考试，以这道题为例，介绍了这一题型的解题方法。下面就是通过不同的变式让学生熟练方法，并找到例题的模型。洪老师不仅选题很用心，课上的讲解分析以及总结归纳多解，拓宽了学生的解题思路，提高了学生的解题能力。2、周老师的探究直角三角形的存在性问题这节课，由浅入深，设置的问题有梯度，让学生能够动手操作一下。并且每个环节也都有相应的总结，比如画图部分画法为两垂线一圆。对此类问题周老师介绍了多种解题方法，k型相似，三角函数，勾股定理，斜率，做到了一题多解，拓宽了学生的解题思路，提高了学生的解题能力。

常州市新北区罗溪中学王观涛：‌洪瑶老师带来了函数背景下的定角处理策略的专题复习，整个授课的板块很清晰，由易到难，由特殊到一般。先从2018年一模真题引入，接着的变式练习让我们看到了几何画板与板书的完美结合，优美的板书也反映出了洪老师扎实的基本功，最后结束语是感谢各位同学的配合，这一小小的细节之处见到了洪老师的大真章。周叶老师带来了探究直角三角形的存在性的专题复习，引入有特色，具有很大的开放性，成功激起了学生的兴趣。在学生自主尝试的过程中，注重了分类讨论的数学思想，从边的角度，从角的角度，学生回答后周老师给予了总结。周老师很具有亲和力，教态自然，语言生动，后排的学生都听的津津有味。在最后的合作探究阶段，周老师舍得给学生花时间，注重学生内化的过程。

常州市新北区飞龙中学齐立华：洪老师《函数背景下的定角处理策略》以18年一模的一道题目开始、引导学生仔细分析题目，从题目中已有条件到尚缺条件，最后到如何利用已知条件寻找所需点，实现问题的解决。整个过程关注学生主动参与，通过变式实现条件的转换，洪老师以一道题目引出，实现了一类题目解题题方法的总结，接着引入抛物线、二次函数，让学生深刻体会虽然题目在变，但解题的方法是一成不变的，让学生掌握这类题型的解决方法，有利于促进学生的深度学习。周老师《探究直角三角形的存在性》从找点到求点，引导学生自主找到存在的点P，在此基础上引导学生探究求出点P的方法，最后将将直角的存在性问题与三类函数相结合、实现学习的升华、促进学生深度学习的发生。

常州市新北区西夏墅中学邓兵：洪瑶老师针对毕业班学生后期的学习采取微专题的方式，从细微入手，以点带面，对于函数与几何的结合问题解决，采取图文并茂，数形结合。洪瑶老师带着学生解决数学问题，靠细致的分析而不是套路。题目的选择具有科学性，由易到难，由直线模型到曲线模型。揭示和归纳解决该类题目的一般性和通用技巧以及原理，使得学生知其然也知其所以然。学生必然亲其师信其道。周叶老师的这节探究直角三角形的存在性问题，具有很强的趣味性，兼顾基础和思维能力。探索直角三角形的存在性有很好的价值，它是后续很多复杂题目的一部分，对于此类数学模型扎实的掌握有助于培养学生的分类谈论，数形结合，化归与转化等数学思想。对于此类一题多解得问题周老师给出了四种不同的方法，分别从数与形两个维度解决问题。注重学生自我探究和分组活动，课后作业布置合理，为学生自主学习和深度学习提供了有效可行的素材。

现场活动结束后，大家在线上积极讨论、评课议课，为本次教研活动画上圆满的句号，在大家的积极参与下、我们的成长营一定会越来越好。